Pemutasi: Panduan Lengkap Konsep, Rumus, Contoh dan Aplikasinya

Dalam dunia matematika, khususnya pada cabang kombinatorika, konsep pemutasi (permutation) memegang peranan yang sangat fundamental. Pemutasi adalah salah satu cara untuk menghitung jumlah kemungkinan pengaturan atau urutan objek dari sebuah himpunan. Ia menjawab pertanyaan dasar tentang "berapa banyak cara berbeda kita bisa menyusun sesuatu?" Konsep ini tidak hanya terbatas pada teori, tetapi memiliki aplikasi yang luas di berbagai bidang, mulai dari ilmu komputer, kriptografi, biologi, hingga statistika dan ekonomi.

Artikel ini akan membawa Anda menyelami lebih dalam tentang pemutasi, mulai dari definisi dasar, rumus-rumus yang digunakan, berbagai jenis pemutasi, contoh-contoh praktis, hingga aplikasinya dalam kehidupan nyata. Kami juga akan membahas perbedaan mendasar antara pemutasi dan kombinasi, dua konsep yang sering kali tertukar.

1. Pengantar: Apa Itu Pemutasi?

Bayangkan Anda memiliki tiga buah buku yang berbeda: Matematika (M), Fisika (F), dan Kimia (K). Anda ingin menyusun buku-buku ini di rak. Berapa banyak cara berbeda Anda bisa menyusunnya? Mari kita coba daftarkan:

• M-F-K
• M-K-F
• F-M-K
• F-K-M
• K-M-F
• K-F-M

Terdapat 6 cara berbeda untuk menyusun ketiga buku tersebut. Inilah inti dari pemutasi: pengaturan objek di mana urutan menjadi sangat penting.

Secara formal, pemutasi adalah pengaturan elemen-elemen dari sebuah himpunan di mana urutan pengaturan tersebut diperhatikan. Jika kita memiliki himpunan objek, dan kita memilih sejumlah objek dari himpunan tersebut, kemudian kita menyusunnya dalam urutan tertentu, maka proses ini disebut pemutasi. Perbedaan utama dengan kombinasi adalah penekanan pada urutan: dalam pemutasi, ABC dianggap berbeda dengan ACB, sedangkan dalam kombinasi, keduanya dianggap sama.

Konsep ini sangat penting karena banyak masalah di dunia nyata melibatkan pengaturan berurutan. Misalnya, berapa banyak kata sandi unik yang bisa dibuat, berapa banyak cara untuk menjadwalkan tugas, atau berapa banyak urutan pemenang dalam sebuah perlombaan.

2. Prinsip Dasar Pencacahan

Sebelum masuk ke rumus pemutasi, penting untuk memahami prinsip dasar pencacahan yang mendasarinya:

2.1. Aturan Perkalian (Rule of Product)

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara, dan setelah kejadian itu terjadi, kejadian kedua dapat terjadi dalam n cara, maka kedua kejadian tersebut secara berurutan dapat terjadi dalam m × n cara.

Contoh: Sebuah restoran menawarkan 3 pilihan sup (sup ayam, sup jamur, sup jagung) dan 4 pilihan hidangan utama (steak, pasta, pizza, ikan bakar). Berapa banyak kombinasi hidangan sup dan utama yang bisa dipilih pelanggan?

Penyelesaian:

• Pilihan sup = 3 cara
• Pilihan hidangan utama = 4 cara

Total kombinasi = 3 × 4 = 12 cara.

2.2. Aturan Penjumlahan (Rule of Sum)

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara atau kejadian kedua dapat terjadi dalam n cara (dan kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan), maka ada m + n cara agar salah satu dari kejadian tersebut terjadi.

Contoh: Anda ingin bepergian ke luar kota. Anda bisa naik bus (3 pilihan perusahaan bus) atau kereta api (2 pilihan perusahaan kereta api). Berapa banyak cara berbeda Anda bisa bepergian?

Penyelesaian:

• Pilihan bus = 3 cara
• Pilihan kereta api = 2 cara

Total cara bepergian = 3 + 2 = 5 cara.

Pemutasi terutama menggunakan prinsip perkalian secara berulang-ulang.

3. Faktorial: Pondasi Pemutasi

Konsep faktorial adalah blok bangunan utama dalam memahami dan menghitung pemutasi. Faktorial dari sebuah bilangan bulat non-negatif n, ditulis sebagai n! (dibaca "n faktorial"), adalah hasil perkalian semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n.

Definisi:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

Ada dua kasus khusus yang perlu diingat:

• 0! = 1 (Ini adalah definisi baku dalam matematika untuk konsistensi rumus).
• 1! = 1

Contoh Faktorial:

• 2! = 2 × 1 = 2
• 3! = 3 × 2 × 1 = 6
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Penting untuk diingat bahwa faktorial tumbuh sangat cepat. Ini menjelaskan mengapa bahkan dengan jumlah objek yang relatif kecil, jumlah pemutasi bisa menjadi sangat besar.

4. Jenis-jenis Pemutasi dan Rumusnya

Pemutasi dapat dibagi menjadi beberapa jenis berdasarkan karakteristik objek yang diatur dan apakah pengulangan diizinkan atau tidak.

4.1. Pemutasi dari n Objek Berbeda yang Diambil Semua (nPr = n!)

Ini adalah kasus paling sederhana di mana kita memiliki n objek yang semuanya berbeda, dan kita ingin mengatur semuanya. Dalam kasus ini, kita memilih semua n objek dan menyusunnya.

Rumus:

P(n, n) = nPn = n!

Penjelasan:

• Untuk posisi pertama, ada n pilihan.
• Untuk posisi kedua, ada n-1 pilihan (karena satu objek sudah diambil).
• Untuk posisi ketiga, ada n-2 pilihan, dan seterusnya.
• Hingga posisi terakhir, hanya ada 1 pilihan yang tersisa.

Menurut aturan perkalian, total cara adalah n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 = n!.

Contoh 1: Berapa banyak cara berbeda untuk menyusun 5 buku berbeda di rak buku?

Penyelesaian: Di sini, n = 5. Kita ingin menyusun semua 5 buku.

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Ada 120 cara berbeda untuk menyusun 5 buku tersebut.

Contoh 2: Ada 4 orang (A, B, C, D) yang akan berfoto dalam satu barisan. Berapa banyak urutan foto yang berbeda dapat dibuat?

Penyelesaian: Di sini, n = 4.

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

Ada 24 urutan foto yang berbeda.

4.2. Pemutasi dari n Objek Berbeda yang Diambil r Setiap Kali (nPr)

Ini adalah kasus umum pemutasi, di mana kita memiliki n objek yang semuanya berbeda, tetapi kita hanya ingin memilih dan mengatur r dari objek tersebut, di mana r ≤ n.

Rumus:

P(n, r) = nPr = n! / (n - r)!

Penjelasan:

• Untuk posisi pertama, ada n pilihan.
• Untuk posisi kedua, ada n-1 pilihan.
• ...
• Untuk posisi ke-r, ada n - (r-1) = n - r + 1 pilihan.

Jadi, jumlah cara adalah n × (n-1) × (n-2) × ... × (n - r + 1). Ini dapat ditulis sebagai:

nPr = n × (n-1) × ... × (n-r+1)
            = [n × (n-1) × ... × (n-r+1)] × [(n-r) × (n-r-1) × ... × 1] / [(n-r) × (n-r-1) × ... × 1]
            = n! / (n-r)!

Contoh 1: Dalam sebuah perlombaan lari dengan 10 peserta, akan dipilih juara 1, 2, dan 3. Berapa banyak kemungkinan urutan pemenang?

Penyelesaian: Di sini, n = 10 (total peserta) dan r = 3 (jumlah juara yang akan dipilih, dan urutannya penting).

P(10, 3) = 10! / (10 - 3)!
                 = 10! / 7!
                 = (10 × 9 × 8 × 7!) / 7!
                 = 10 × 9 × 8
                 = 720

Ada 720 kemungkinan urutan pemenang.

Contoh 2: Anda memiliki 6 angka unik (1, 2, 3, 4, 5, 6) dan ingin membuat kode 3 digit tanpa pengulangan. Berapa banyak kode yang bisa dibuat?

Penyelesaian: Di sini, n = 6 dan r = 3.

P(6, 3) = 6! / (6 - 3)!
                = 6! / 3!
                = (6 × 5 × 4 × 3!) / 3!
                = 6 × 5 × 4
                = 120

Ada 120 kode 3 digit berbeda yang bisa dibuat.

4.3. Pemutasi dengan Objek yang Identik (Pemutasi Berulang)

Apa yang terjadi jika ada objek yang tidak dapat dibedakan (identik)? Misalnya, kata "MISSISSIPPI" memiliki huruf 'I' yang muncul 4 kali, 'S' 4 kali, dan 'P' 2 kali. Jika semua hurufnya unik, kita tinggal menggunakan n!. Namun, karena ada huruf yang identik, beberapa pengaturan akan terlihat sama.

Rumus:

P = n! / (n1! × n2! × ... × nk!)

Di mana:

• n adalah total jumlah objek.
• n1, n2, ..., nk adalah jumlah objek yang identik untuk setiap jenis.

Contoh 1: Berapa banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf dalam kata "MATEMATIKA"?

Penyelesaian: Pertama, hitung total jumlah huruf, n, dan frekuensi setiap huruf:

• M: 2 kali (n1 = 2)
• A: 3 kali (n2 = 3)
• T: 2 kali (n3 = 2)
• E: 1 kali (n4 = 1)
• I: 1 kali (n5 = 1)
• K: 1 kali (n6 = 1)

Total huruf n = 2 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10.

P = 10! / (2! × 3! × 2! × 1! × 1! × 1!)
          = 10! / (2 × 6 × 2)
          = 3,628,800 / 24
          = 151,200

Ada 151,200 kata berbeda yang bisa dibentuk.

Contoh 2: Sebuah tas berisi 3 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau. Berapa banyak cara berbeda untuk menyusun bola-bola ini dalam satu baris?

Penyelesaian: Total bola n = 3 + 2 + 1 = 6.

• Bola merah (M): 3 kali (n1 = 3)
• Bola biru (B): 2 kali (n2 = 2)
• Bola hijau (H): 1 kali (n3 = 1)

P = 6! / (3! × 2! × 1!)
          = 720 / (6 × 2 × 1)
          = 720 / 12
          = 60

Ada 60 cara berbeda untuk menyusun bola-bola tersebut.

4.4. Pemutasi Siklik (Pemutasi Melingkar)

Pemutasi siklik adalah pengaturan objek dalam bentuk lingkaran. Dalam pengaturan melingkar, tidak ada titik awal atau akhir yang jelas, sehingga rotasi dari susunan yang sama dianggap sama. Misalnya, jika 4 orang duduk melingkar, A-B-C-D dianggap sama dengan B-C-D-A, C-D-A-B, dan D-A-B-C.

Rumus:

P_siklik = (n - 1)!

Penjelasan: Untuk mengatasi masalah tidak adanya titik awal atau akhir, kita "mengunci" satu objek pada satu posisi. Objek ini menjadi titik referensi. Setelah satu objek dikunci, n-1 objek lainnya dapat diatur dalam (n-1)! cara relatif terhadap objek yang dikunci tersebut.

Contoh 1: Berapa banyak cara berbeda 5 orang dapat duduk mengelilingi meja bundar?

Penyelesaian: Di sini, n = 5.

P_siklik = (5 - 1)! = 4!
                 = 4 × 3 × 2 × 1
                 = 24

Ada 24 cara berbeda mereka dapat duduk mengelilingi meja bundar.

Contoh 2: Sebuah gelang akan dibuat dengan 7 manik-manik berbeda. Berapa banyak desain gelang berbeda yang bisa dibuat?

Penyelesaian: Ini adalah kasus pemutasi siklik, tetapi ada tambahan simetri karena gelang dapat dibalik. Jika gelang dapat dibalik, maka susunan ABCDE dan EDCBA (jika dilihat dari arah berlawanan) dianggap sama. Oleh karena itu, kita harus membagi hasilnya dengan 2.

P_siklik_dapat_dibalik = (n - 1)! / 2

Untuk n = 7:

P = (7 - 1)! / 2 = 6! / 2
          = 720 / 2
          = 360

Ada 360 desain gelang berbeda yang bisa dibuat.

4.5. Pemutasi dengan Pengulangan (Repeated Permutations)

Jenis pemutasi ini melibatkan pemilihan r objek dari n objek yang tersedia, di mana setiap objek dapat dipilih berkali-kali (pengulangan diizinkan), dan urutan pemilihan diperhatikan.

Rumus:

n^r

Penjelasan: Untuk setiap posisi dari r posisi yang akan diisi, kita memiliki n pilihan, karena objek dapat diulang. Jadi, untuk posisi pertama ada n pilihan, untuk posisi kedua ada n pilihan, dan seterusnya hingga posisi ke-r juga ada n pilihan. Dengan aturan perkalian, hasilnya adalah n × n × ... × n (sebanyak r kali).

Contoh 1: Berapa banyak kode PIN 4 digit yang dapat dibuat jika setiap digit dapat berupa angka 0-9 dan pengulangan digit diperbolehkan?

Penyelesaian: Di sini, n = 10 (digit 0-9) dan r = 4 (panjang PIN).

Jumlah PIN = 10^4 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10,000

Ada 10,000 kode PIN 4 digit yang mungkin.

Contoh 2: Sebuah koin dilempar 3 kali. Berapa banyak urutan hasil yang mungkin?

Penyelesaian: Untuk setiap lemparan, ada n = 2 hasil yang mungkin (gambar atau angka). Kita melempar koin r = 3 kali.

Jumlah hasil = 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8

Urutan hasilnya adalah (G,G,G), (G,G,A), (G,A,G), (A,G,G), (G,A,A), (A,G,A), (A,A,G), (A,A,A).

5. Perbedaan Pemutasi dan Kombinasi: Kunci Utama

Seringkali, pemutasi dan kombinasi dianggap sama, namun ada perbedaan mendasar yang sangat penting: urutan.

• Pemutasi (Permutation): Urutan PENTING. Jika Anda memilih objek dan menyusunnya dalam urutan tertentu, itu adalah pemutasi. Contoh: memilih juara 1, 2, 3 dalam perlombaan. (A juara 1, B juara 2 berbeda dengan B juara 1, A juara 2).
• Kombinasi (Combination): Urutan TIDAK PENTING. Jika Anda hanya memilih objek tanpa memperhatikan urutan penyusunannya, itu adalah kombinasi. Contoh: memilih 3 orang dari 10 untuk menjadi panitia. (Memilih A, B, C sama dengan memilih B, A, C).

5.1. Rumus Kombinasi

Untuk kombinasi dari n objek berbeda yang diambil r setiap kali:

C(n, r) = nCr = n! / [r! × (n - r)!]

Perhatikan bahwa rumus kombinasi memiliki tambahan r! di penyebut dibandingkan dengan rumus pemutasi nPr. Ini karena kita membagi jumlah pemutasi dengan r! untuk menghilangkan urutan yang sama.

nCr = nPr / r!

Contoh Perbandingan:

Ada 3 orang: A, B, C.

Kasus Pemutasi (Pilih 2 orang dan susun dalam antrian):

• AB
• BA
• AC
• CA
• BC
• CB

Total = 6 cara. Menggunakan rumus: P(3, 2) = 3! / (3-2)! = 3! / 1! = 6 / 1 = 6.

Kasus Kombinasi (Pilih 2 orang untuk tim, tanpa urutan):

• {A, B}
• {A, C}
• {B, C}

Total = 3 cara. Menggunakan rumus: C(3, 2) = 3! / [2! × (3-2)!] = 3! / (2! × 1!) = 6 / (2 × 1) = 3.

Perbedaan ini krusial dan harus dipahami dengan baik agar tidak keliru dalam menerapkan rumus yang tepat untuk masalah tertentu.

6. Aplikasi Pemutasi dalam Berbagai Bidang

Konsep pemutasi bukan hanya latihan matematika teoretis, tetapi memiliki relevansi dan aplikasi praktis yang luas dalam berbagai disiplin ilmu dan aspek kehidupan sehari-hari.

6.1. Ilmu Komputer dan Kriptografi

• Kata Sandi dan Kunci Enkripsi: Menghitung jumlah kemungkinan kata sandi atau kunci enkripsi adalah aplikasi langsung dari pemutasi (terutama dengan pengulangan). Semakin banyak karakter yang diizinkan dan semakin panjang kata sandi, semakin besar jumlah pemutasi, sehingga semakin sulit untuk diretas.
• Algoritma Pengurutan (Sorting Algorithms): Memahami semua kemungkinan urutan data penting dalam menganalisis kompleksitas algoritma pengurutan.
• Pembuatan Kombinasi Unik: Dalam basis data atau sistem yang memerlukan identifikasi unik, pemutasi digunakan untuk menghasilkan string atau ID yang berbeda.
• Jaringan Komputer: Menghitung jalur berbeda yang bisa diambil paket data.

6.2. Probabilitas dan Statistika

• Menghitung Ruang Sampel: Dalam probabilitas, pemutasi digunakan untuk menentukan total jumlah hasil yang mungkin dalam suatu eksperimen di mana urutan penting. Ini menjadi dasar untuk menghitung peluang suatu kejadian.
• Analisis Data: Dalam beberapa metode statistik, seperti resampling atau permutasi tes, konsep pemutasi digunakan untuk menguji hipotesis dengan menciptakan semua kemungkinan pengaturan data.
• Kartu Permainan dan Lotre: Menghitung peluang memenangkan lotre atau mendapatkan tangan tertentu dalam permainan kartu seringkali melibatkan pemutasi atau kombinasi.

6.3. Biologi dan Genetika

• Pengurutan DNA/RNA: Dalam biologi molekuler, DNA dan RNA adalah rantai nukleotida. Memahami semua kemungkinan urutan (pemutasi) dari nukleotida ini sangat penting dalam studi genetika, mutasi, dan pembentukan protein.
• Struktur Protein: Urutan asam amino dalam protein menentukan strukturnya. Pemutasi membantu memahami variasi yang mungkin.

6.4. Penjadwalan dan Logistik

• Perencanaan Rute: Masalah seperti "Traveling Salesperson Problem" (TSP) adalah masalah klasik dalam optimasi yang sangat bergantung pada pemutasi. Tujuannya adalah menemukan rute terpendek yang mengunjungi setiap kota tepat satu kali dan kembali ke kota asal.
• Penjadwalan Tugas: Menjadwalkan tugas-tugas dalam proyek, mengatur jadwal kuliah, atau mengalokasikan sumber daya seringkali memerlukan perhitungan pemutasi untuk menemukan urutan yang paling efisien.
• Manajemen Antrean: Dalam sistem antrean, urutan pelanggan atau pekerjaan dapat memengaruhi efisiensi dan waktu tunggu.

6.5. Olahraga dan Permainan

• Urutan Pemenang: Seperti contoh di atas, pemutasi digunakan untuk menghitung kemungkinan urutan juara 1, 2, 3 dalam suatu perlombaan.
• Pengaturan Tim: Jika posisi pemain dalam tim penting, pemutasi dapat digunakan untuk menghitung konfigurasi tim yang berbeda.
• Permainan Papan (Board Games): Beberapa permainan yang melibatkan pengaturan objek (misalnya, menyusun huruf untuk membentuk kata) menggunakan konsep pemutasi.

6.6. Ekonomi dan Keuangan

• Manajemen Portofolio: Menentukan urutan investasi atau divestasi aset yang berbeda untuk mencapai tujuan keuangan tertentu.
• Analisis Risiko: Menghitung kemungkinan urutan kejadian yang dapat menyebabkan risiko tertentu.

Dari contoh-contoh di atas, jelas bahwa pemutasi adalah alat matematika yang sangat kuat dan serbaguna, yang memungkinkan kita untuk mengukur dan memahami kompleksitas berbagai situasi yang melibatkan pengaturan berurutan.

7. Contoh Soal Lanjutan dan Penyelesaian

Mari kita perdalam pemahaman kita dengan beberapa contoh soal yang lebih kompleks dan bervariasi.

Soal 1: Pemutasi dengan Kondisi Khusus

Ada 7 orang (3 pria dan 4 wanita) yang akan duduk di sebuah bangku panjang. Berapa banyak cara mereka dapat duduk jika:

1. Tidak ada batasan.
2. Pria harus duduk berdampingan.
3. Wanita harus duduk berdampingan.
4. Pria dan wanita duduk berselang-seling.

Penyelesaian:

1. Tidak ada batasan:

Total orang n = 7. Jika tidak ada batasan, ini adalah pemutasi dari 7 objek yang berbeda yang diambil semua.

P(7, 7) = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040

Ada 5,040 cara.

2. Pria harus duduk berdampingan:

Anggap 3 pria sebagai satu "blok" atau satu unit. Jadi, kita memiliki:

• 1 blok pria (P1P2P3)
• 4 wanita (W1, W2, W3, W4)

Total unit yang akan diatur adalah 1 (blok pria) + 4 (wanita) = 5 unit. Cara mengatur 5 unit ini adalah 5! = 120 cara.

Di dalam blok pria itu sendiri, 3 pria tersebut juga dapat diatur dalam 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara. Dengan aturan perkalian, total cara = (cara mengatur unit) × (cara mengatur internal blok pria)

Total cara = 5! × 3! = 120 × 6 = 720

Ada 720 cara.

3. Wanita harus duduk berdampingan:

Anggap 4 wanita sebagai satu "blok". Jadi, kita memiliki:

• 3 pria (P1, P2, P3)
• 1 blok wanita (W1W2W3W4)

Total unit yang akan diatur adalah 3 (pria) + 1 (blok wanita) = 4 unit. Cara mengatur 4 unit ini adalah 4! = 24 cara.

Di dalam blok wanita itu sendiri, 4 wanita tersebut juga dapat diatur dalam 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cara. Dengan aturan perkalian, total cara = (cara mengatur unit) × (cara mengatur internal blok wanita)

Total cara = 4! × 4! = 24 × 24 = 576

Ada 576 cara.

4. Pria dan wanita duduk berselang-seling:

Karena ada 3 pria dan 4 wanita, satu-satunya cara mereka bisa duduk berselang-seling adalah jika wanita berada di posisi ujung dan di antara pria. Polanya harus W-P-W-P-W-P-W.

• Wanita (W): Ada 4 posisi untuk wanita. Cara mengatur 4 wanita adalah 4! = 24.
• Pria (P): Ada 3 posisi untuk pria. Cara mengatur 3 pria adalah 3! = 6.

Dengan aturan perkalian, total cara = (cara mengatur wanita) × (cara mengatur pria)

Total cara = 4! × 3! = 24 × 6 = 144

Ada 144 cara.

Soal 2: Pemutasi Siklik dengan Kondisi

6 orang (3 pasangan suami istri) akan makan malam di meja bundar. Berapa banyak cara mereka dapat duduk jika:

1. Tidak ada batasan.
2. Setiap pasangan suami istri harus duduk berdampingan.

Penyelesaian:

1. Tidak ada batasan:

Ini adalah pemutasi siklik dari 6 objek.

P_siklik = (n - 1)! = (6 - 1)! = 5!
                 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
                 = 120

Ada 120 cara.

2. Setiap pasangan suami istri harus duduk berdampingan:

Anggap setiap pasangan (S-I) sebagai satu "unit". Jadi, kita memiliki 3 unit pasangan: (P1), (P2), (P3). Kita akan mengatur 3 unit ini di meja bundar. Ini adalah pemutasi siklik dari 3 unit. Cara mengatur 3 unit ini = (3 - 1)! = 2! = 2 cara.

Di dalam setiap pasangan, suami dan istri bisa bertukar posisi (S-I atau I-S). Ada 2! = 2 cara untuk setiap pasangan. Karena ada 3 pasangan, dan setiap pasangan bisa bertukar posisi secara independen, kita gunakan aturan perkalian. Total cara internal = 2! × 2! × 2! = 2 × 2 × 2 = 8 cara.

Dengan aturan perkalian, total cara = (cara mengatur unit) × (cara mengatur internal pasangan)

Total cara = (3 - 1)! × (2! × 2! × 2!) = 2 × 8 = 16

Ada 16 cara.

Soal 3: Pemutasi dengan Objek Identik dan Kondisi

Berapa banyak kata berbeda yang dapat dibentuk dari semua huruf pada kata "KALKULATOR" jika:

1. Tidak ada batasan.
2. Dimulai dengan huruf 'K' dan diakhiri dengan huruf 'R'.

Penyelesaian:

Pertama, hitung total huruf dan frekuensinya di kata "KALKULATOR": Total huruf n = 10.

• K: 2 kali (n1 = 2)
• A: 2 kali (n2 = 2)
• L: 2 kali (n3 = 2)
• U: 1 kali (n4 = 1)
• T: 1 kali (n5 = 1)
• O: 1 kali (n6 = 1)
• R: 1 kali (n7 = 1)

1. Tidak ada batasan:

Ini adalah pemutasi dengan objek identik.

P = n! / (n1! × n2! × ... × nk!)
          = 10! / (2! × 2! × 2! × 1! × 1! × 1! × 1!)
          = 3,628,800 / (2 × 2 × 2)
          = 3,628,800 / 8
          = 453,600

Ada 453,600 kata berbeda.

2. Dimulai dengan huruf 'K' dan diakhiri dengan huruf 'R':

Kita kunci 'K' di awal dan 'R' di akhir. K _ _ _ _ _ _ _ _ R Sekarang kita harus mengatur 8 huruf sisanya di tengah. Huruf yang tersisa: A, A, L, L, K, U, T, O. (Perhatikan bahwa satu 'K' sudah dipakai di awal, jadi sisa 'K' adalah 1). Total huruf tersisa n = 8. Frekuensi huruf yang tersisa:

• A: 2 kali (n1 = 2)
• L: 2 kali (n2 = 2)
• K: 1 kali (n3 = 1)
• U: 1 kali (n4 = 1)
• T: 1 kali (n5 = 1)
• O: 1 kali (n6 = 1)

Jumlah cara mengatur 8 huruf ini adalah:

P = 8! / (2! × 2! × 1! × 1! × 1! × 1!)
          = 40,320 / (2 × 2)
          = 40,320 / 4
          = 10,080

Ada 10,080 kata berbeda yang memenuhi kondisi tersebut.

8. Kesalahan Umum dalam Menghitung Pemutasi

Meskipun konsep pemutasi relatif lugas, ada beberapa kesalahan umum yang sering dilakukan:

• Mencampuradukkan Pemutasi dan Kombinasi: Ini adalah kesalahan paling sering. Ingatlah: jika urutan penting, gunakan pemutasi. Jika urutan tidak penting, gunakan kombinasi.
• Lupa Mempertimbangkan Pengulangan: Jika objeknya identik, Anda harus menggunakan rumus pemutasi dengan pengulangan (membagi dengan faktorial jumlah objek identik).
• Kesalahan dalam Kasus Siklik: Jangan lupa mengurangi 1 dari total objek (n-1)! untuk pemutasi siklik. Jika ada simetri tambahan (misalnya bisa dibalik), bagi lagi dengan 2.
• Salah Menentukan 'n' dan 'r': Pastikan Anda dengan benar mengidentifikasi total objek yang tersedia (n) dan jumlah objek yang akan diatur (r).
• Lupa Menerapkan Aturan Perkalian untuk Sub-Masalah: Dalam masalah yang lebih kompleks dengan kondisi (misalnya, "pria harus duduk bersama"), ingatlah untuk menghitung pemutasi internal kelompok tersebut dan mengalikannya dengan pemutasi kelompok besar.
• Faktorial Nol (0!): Ingatlah bahwa 0! = 1, bukan 0.

Praktik yang banyak dengan berbagai jenis soal adalah kunci untuk menghindari kesalahan-kesalahan ini.

9. Sejarah Singkat Pemutasi dan Kombinasi

Konsep-konsep dasar pencacahan telah dikenal sejak zaman kuno di berbagai peradaban. Di India, ahli matematika seperti Mahavira (sekitar abad ke-9) dan Bhaskara II (abad ke-12) telah mengembangkan rumus untuk pemutasi dan kombinasi. Bhaskara II, dalam karyanya Lilavati, menyajikan aturan untuk perhitungan pemutasi dan kombinasi, termasuk yang melibatkan objek identik.

Di dunia Barat, konsep ini mulai dikembangkan lebih sistematis pada abad ke-17. Blaise Pascal dan Pierre de Fermat, dua ahli matematika Prancis, memainkan peran penting dalam meletakkan dasar teori probabilitas, yang erat kaitannya dengan kombinatorika. Mereka mengembangkan metode untuk menghitung kemungkinan hasil dalam permainan judi, yang secara tidak langsung melibatkan pemahaman tentang pemutasi dan kombinasi.

Pada abad ke-18, Jacob Bernoulli, dalam bukunya Ars Conjectandi (Seni Berargumen dengan Dugaan), memberikan kontribusi signifikan terhadap teori probabilitas dan kombinatorika, termasuk pengembangan lebih lanjut dari konsep-konsep ini. Istilah "permutasi" dan "kombinasi" sendiri mulai menjadi standar dalam literatur matematika pada periode ini. Penggunaan notasi faktorial juga menjadi lebih umum, membantu menyederhanakan penulisan rumus.

Seiring waktu, kombinatorika berkembang menjadi cabang matematika yang mandiri dan krusial, dengan pemutasi dan kombinasi sebagai fondasi utamanya. Hari ini, studi ini terus berlanjut, menemukan aplikasi baru dalam ilmu komputer, kriptografi, fisika, dan banyak bidang lainnya.

10. Kesimpulan

Pemutasi adalah konsep inti dalam kombinatorika yang membahas tentang cara mengatur objek di mana urutan memiliki peran penting. Dari pemutasi sederhana n! hingga pemutasi dari n objek yang diambil r setiap kali nPr, pemutasi dengan objek identik, dan pemutasi siklik, setiap jenis memiliki rumus dan aplikasinya sendiri.

Memahami perbedaan mendasar antara pemutasi (urutan penting) dan kombinasi (urutan tidak penting) adalah kunci untuk berhasil memecahkan masalah pencacahan. Dengan menguasai konsep faktorial dan prinsip dasar pencacahan, Anda akan memiliki landasan yang kuat untuk menjelajahi lebih jauh dunia kombinatorika dan probabilitas.

Aplikasi pemutasi sangat beragam, membuktikan bahwa matematika tidak hanya ada di buku pelajaran, tetapi juga menjadi alat yang tak ternilai untuk memahami dan memecahkan masalah dalam berbagai aspek kehidupan dan ilmu pengetahuan. Dari mengamankan data dengan kata sandi hingga merencanakan rute yang efisien, pemutasi hadir di mana-mana, membantu kita menghitung dan mengorganisir kemungkinan-kemungkinan di dunia yang kompleks ini. Dengan latihan dan pemahaman yang mendalam, Anda dapat menguasai alat matematika yang kuat ini dan menerapkannya dalam tantangan apa pun yang Anda hadapi.